Mathe 7 Bayern: WICHTIGE REGELN - Wissen und Erkennen

Hier steht eine Reihe von Regeln, die man in der 7. Klasse kennen, verstehen und anwenden können muss. Idealerweise werden diese Regeln im Unterricht als Hefteinträge so eingetragen, dass Schülern ihre Wichtigkeit bewusst ist. Wenn das nicht passiert, sollte man diese Regeln sauber aufschreiben (lassen) – dafür vielleicht ein eigenes "Regeln-Heft" führen.

Bevor ein Mathematiker vom Sessel fällt: Die folgenden Regeln beziehen sich nur auf die rationalen Zahlen, die in der 7.Klasse ausschließlich verwendet werden. Und sie sind teils in Umgangssprache formuliert, wie etwa "Minus mal Minus ist Plus" oder "Klammerrechnungen gehen vor": Obwohl dadurch die Präzision verloren geht, denken wir (auch die Mathematiker!) in solchen "aufsagbaren" Regeln – anders sind sie praktisch nicht zu lernen.

Absichtlich verwende ich in den Regeln verschiedene Buchstaben als Variable, weil das in Mathematik und Physik so üblich ist – es ist nicht immer x "die" Unbekannte.

Ergänzung 20.2.2014: Summenbruch zerlegen
Ergänzung 20.2.2014: In Summen und Differenzen ist kürzen verboten

Punktrechnung vor Strichrechnung (Typischer Fehler)

In einer Rechnung "binden" Multiplikation (·) und Division (:) "enger" als Addition (+) und Subtraktion (–). Daher ist

3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23 und nicht ~~3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35~~ (in der falschen Rechnung hätte die Addition 3+4 "enger gebunden" als die Multiplikation).
k – 3 · k = k – 3k = –2k und nicht ~~k – 3 · k = k²– 3k~~.

Diesen Fehler muss man sofort wegüben, wenn er auftritt!

Minus gilt nur bis zum nächsten – oder + (Typischer Fehler)

Beispiele:

12 – 7 + 3 = 8 und nicht ~~12 – 7 + 3 = 12 – 10 = 2~~
6r – 5r – r = 0 und nicht ~~6r – 5r – r = 6r – 4r = 2r~~

Im ersten Beispiel "endet" das Minus nach der 7. Die 3 muss schon addiert werden.

Diesen Fehler muss man sofort wegüben, wenn er auftritt!

Minus vor Klammer dreht beim Auflösen alle Vorzeichen um (Typischer Fehler)

Diese Regel ist ein wenig schwierig, weil es häufig "unsichtbare +" gibt. Hier ist eine Erklärung, die funktionieren müsste:

Hier dasselbe kompakter hingeschrieben für jene, die von dieser bunten Malerei eher verwirrt werden:

    a – (b + c – d) =
    a – (+ b + c – d) =
    a    – b – c + d

Bitte so erklären – nicht so, dass das Minus vor der Klammer irgendwie übrigbleibt! Also:

Es ist so, dass das Minus vor der Klammer verschwindet, dafür aus dem "geheimen" + ein neues Minus entsteht (durch Umdrehen des nun nicht mehr geheimen +)!

Nur so kann man nämlich auch leicht erklären, wieso im folgenden Beispiel nach der Vereinfachung kein Minus mehr da ist:

    r – (– s – t) =
    r    + s + t

Nämlich: "Das Minus vor der Klammer begeht Selbstmord, ermordet die Klammern, und dreht alle Additionen und Subtraktionen in der Klammer um" (in diesem Fall zu zwei +).

Noch eine Ergänzung: Auch folgende Formulierung stimmt nicht: "Das Minus ... dreht alle Vorzeichen in der Klammer um". Das folgende Beispiel zeigt, dass es mehr Vorzeichen als Strichrechnungen geben kann:

    m – (–10 + (–3) · n) =
    m    +10 – (–3) · n

Das Minus in der Klammer (–3) bleibt gleich (wenn man es nicht vorher auflöst).

Eine Kommazahl und ihr Bruch sehen verschieden aus: Sie dürfen nicht verwechselt werden (Typischer Fehler)

Immer wieder passiert Folgendes:

100 · 0,5 = (Schüler denkt: 0,5 ist kleiner als eins – da "passiert eine Art von Teilen")
100 : 5 = ...

Nein! Die Multiplikation mit 0,5 ist nicht dasselbe wie die Division durch 5, so verführerisch das offenbar aussieht.

Wegüben: Wenn sich's bei anderen Rechnungen ergibt, die Rechnung auf alle drei Arten hinschreiben lassen:

100 · 0,5 = 100 · ½ = 100 : 2

Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist

Ein Produkt x · y kann nur 0 sein, wenn x oder y 0 ist (oder beide 0 sind).

Das gilt auch für kompliziertere Produkte: Wenn gelten soll

   (a + b) · (a – b) = 0

dann muss entweder gelten:

   a + b = 0 (also a = –b)

oder

   a – b = 0 (also a = b)

Es kann natürlich auch beides zugleich gelten. Das wäre in diesem Beispiel möglich, wenn a = 0 und auch b = 0 ist.

Summenbruch zerlegen

Ein "Summenbruch" (mein Wort dafür) ist ein Bruch, wo im Zähler (also oben) eine Summe oder Differenz steht, die man nicht zusammenfassen kann. Beispiele:

Einen Summenbruch kann man in mehrere Summanden zerlegen, die selber Brüche sind:

Das hat zwei mögliche Zwecke:

Man kann mit den getrennten Teilen nun "getrennt hantieren" – das ist insbesondere wichtig beim Lösen von Gleichungen, z.B. von linearen!
Man kann nun in jedem Teil kürzen – solange die Summe oben steht, ist das Kürzen ja verboten

Wenn die Summe oder Differenz im Nenner steht, geht das alles nicht! – dann braucht man andere "Tricks", die ich vielleicht später erkläre (wenn sie für Aufgaben benötig werden).

(20.2.2014)

Bei Summen und Differenzen im Zähler ist Kürzen verboten! (Typischer Fehler)

Das folgende ist verboten:

Wenn man hier unbedingt kürzen will (das scheint ein "psychologisches Verlangen" zu sein, und häufig ist es auch nützlich), muss man zuerst den Summenbruch zerlegen:

Das ist sehr hilfreich beim Lösen von linearen Gleichungen (und anderen Gleichungen)!

(20.2.2014)

Der Betrag einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0

Ein Betrag | x | einer Zahl x kann nie negativ sein – das ist einfach so definiert: Wenn die Zahl negativ ist, dann ist der Betrag eben der "positive Teil" der Zahl.

Daraus folgt übrigens, dass die Gleichung | ... | = –1 keine Lösung haben kann, egal was zwischen den Betragsstrichen steht: Denn ein Betrag kann eben niemals negativ sein!

Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0

Das Quadrat u² einer Zahl u kann nie negativ sein – das folgt aus der Vorzeichenregel "– mal – ist +" ("Minus mal Minus ist Plus").

Daraus folgt übrigens, dass die Gleichung z² = –4 keine Lösung haben kann (in den ganzen, rationalen und reellen Zahlen, um das einmal dazuzuschreiben – also "in der Schule nie"). Denn

2 ist keine Lösung, weil 2 mal 2 ja 4 ist;
–2 ist auch keine Lösung, weil –2 · –2 = 4
auch sonst gibt es keine Zahl, deren Quadrat "irgendwas mit Betrag 4" ergibt.

Lineare Gleichungen haben in der Regel genau eine Lösung

Lineare Gleichungen haben

in der Regel genau eine Lösung;
manchmal aber auch gar keine (z.B. 3t = 3t + 1);
manchmal alle rationalen Zahlen als Lösung (z.B. 4a + 2 = 6a – 2a + 2).

Die zwei Sonderfälle 2. und 3. muss man in der siebten Klasse erkennen lernen!
Das geht so:

In beiden Fällen steht nach der Termvereinfachung links und rechts die gleichen Faktoren vor der Variable, in den Beispielen oben:

3t = 3t + 1 (links und rechts ist der Faktor 3)
4a + 2 = 4a + 2 (links und rechts ist der Faktor 4)

Wenn die konstanten Summanden ungleich sind ⇒ keine Lösung: L = { } oder L = Ø. Einen fehlenden Summanden muss man sich dabei als + 0 denken:

3t + 0 = 3t + 1

Wenn die konstanten Summanden gleich sind ⇒ alle rationalen Zahlen sind Lösung: L = Q

4a + 2 = 4a + 2

Quadratische Gleichungen haben in der Regel zwei Lösungen

Quadratische Gleichungen haben in der Regel zwei Lösungen – in besonderen Fällen aber ...

... nur eine Lösung (z.B. x² – 2x + 1 = 0, was die Lösungsmenge L = { 1 } hat),
... oder gar keine Lösung (z.B. x² = –2, also L = { } oder L = Ø)
... oder alle rationalen Zahlen als Lösung (z.B. x² = 2x² – x², also L = Q).

Um diese Fälle zuverlässig zu unterscheiden, muss man die Gleichung lösen (das ist die in Bayern so genannte "Mitternachtsformel", die aber erst Stoff der 8. Klasse ist).
In der 7. Klasse würde ich mir das "intelligente Überlegen", wie man trotzdem auf die Anzahl der Lösungen kommt, bei nicht sehr guten Schülern ersparen – es gibt Wichtigeres zu lernen.

Wie erstellt man einen Term?

Um einen Term für eine Aufgabe zu erstellen, geht man immer nach den folgenden Schritten vor:

Zuerst eine Termtabelle für einige Variablenwerte ("Argumente") aufstellen. Zumindest für die Werte 1, 2 und 3 sollte man immer den Zielwert bestimmen. Wenn die Variable nicht-ganzzahlig sein kann (z.B. eine Länge oder eine Zeit), dann zusätzlich einen Bruch (etwa ½ oder ⅔) wählen. Wenn die Variable auch negativ sein kann (z.B. eine Temperatur), dann auch eine negative Zahl wählen. Niemals ohne Termtabelle anfangen! Das "freihändige sofortige Erraten des Terms" führt viel zu oft in die Irre.
Dann den Term erraten. Für einen "linearen Term" gibt es ein Verfahren, das immer funktioniert – erkläre ich gleich.
Die Variablenwerte der Termtabelle im erratenen Term einsetzen. Wenn alle Werte stimmen ⇒ ist man fertig (ziemlich sicher – manchmal liegt man trotzdem daneben – auf diese Probleme gehe ich nicht ein); wenn ein Wert nicht stimmt ⇒ weiter mit Schritt 2.!

Für "lineare Terme" gibt es ein Verfahren, das ohne Raten auskommt: Wenn der Zielwert immer um die gleiche Differenz d steigt, wenn der Variablenwert jeweils um 1 steigt, dann ist der Term von der Form T(x) = d ⋅ x ± ....

Beispiel, wo die Differenz immer 6 ist:

Der Term muss also von der Form T(x) = 6 ⋅ x ± ... sein.

Den hinteren Teil findet man, indem man den Term z.B. für den ersten Variablenwert "anpasst": 17 = 6 ⋅ 1 ± .... Daher muss der Term lauten:

T(x) = 6 ⋅ x + 11

Ausrechnen mit Rechengang

Wieviel ist 3 ⋅ (7 + 10 + 8) – 6 ⋅ 4 ⋅ 2? Das Ergebnis ist 27. Aber im "richtigen Leben" (also auch in der Schule) reicht es nicht, das einfach hinzuschreiben: Man muss einerseits zeigen, wie man gerechnet hat; andererseits ist das auch taktisch klug, weil man bei Rechenfehlern vielleicht nur einen "Folgefehler" angekreidet bekommt und nicht alle Punkte verliert.

Wann ist aber ein Rechengang "ausführlich genug"? Ich kenne dafür keine festgeschriebenen Regeln, habe mir aber die folgenden zurechtgelegt, weil man sie halbwegs einfach erklären und üben kann:

Verfahren A: Wenn ein Zwischenergebnis errechnet wurde, dann muss es hingeschrieben werden und darf nicht mehr im Kopf "weiterverrechnet" werden.
Verfahren B: Wie Verfahren A, aber man darf Summen mit mehreren Summanden sowie Produkte mit mehreren Faktoren auf einmal ausrechnen.

Hier stehen die Rechengänge für die obige Rechnung nach beiden Verfahren; fett sind jeweils die Zwischenergebnisse, die nicht im Kopf weiterverrechnet werden durften:

Verfahren A:
  3 ⋅ (7 + 10 + 8) – 6 ⋅ 4 ⋅ 2 =
  3 ⋅ (17 + 8) – 24 ⋅ 2 =
  3 ⋅ 25 – 48 =
  75 – 48 =
  27
Verfahren B:
  3 ⋅ (7 + 10 + 8) – 6 ⋅ 4 ⋅ 2 =
  3 ⋅ 25 – 48 =
  75 – 48 =
  27

Wie löst man eine Gleichung?

"Gleichung lösen" ist mehr als nur eine Auflösung der Gleichung hinzuschreiben. Normalerweise werden folgende vier Teile erwartet:

Grundmenge hinschreiben (die Menge der akzeptablen Werte; eine Anzahl von Personen muss z.B. eine natürliche Zahl sein).
Mögliche Lösungen bestimmen (das Rechnen mit den Variablen). Formregel: Alle = müssen senkrecht untereinander stehen!
Mit jeder möglichen Lösung eine Probe durchführen (wenn die "Lösung" dabei die Gleichung nicht auflöst, dann hat man sich bei Schritt 2. oder 3. verrechnet [bei Schulgleichungen]).
Die Lösungsmenge hinschreiben: Das sind jene möglichen Lösungen, die in der Grundmenge sind.

Über das Hinschreiben einer Proben für eine mögliche Lösung gibt es mehrere Ansichten. Ich denke, dass die folgende überall akzeptiert wird:

Man setzt in die linke Seite der Gleichung die mögliche Lösung ein und rechnet das Ergebnis aus (Ausrechnen mit Rechengang).
Man macht dasselbe für die rechte Seite.
Man schreibt als Text hin: "Beide Seiten ergeben denselben Wert."

Beispielaufgabe: Löse die Gleichung n + 9 = 5 – n über der Grundmenge der natürlichen Zahlen.

Hier ist der Lösungsgang:

Wie löst man eine lineare Gleichung?

Der Vorgang zum Lösen einer linearen Gleichung ist natürlich wie der allgemeine Vorgang für's "Gleichung lösen".

Für den eigentlichen Lösungsschritt gibt es aber eine Taktik, die man auf jeden Fall einhalten soll:

Man bringt immer die Variablen auf die eine Seite und die "Konstanten" (die addierten und subtrahierten Zahlen) auf die andere Seite.

So kommt man am schnellsten zur Lösung.

Schritt-für-Schritt-Aufgaben

...hier fehlt noch eine Erklärung...

Zusammensuch-Aufgaben