Lineare Gleichungen lösen

Unter "eine lineare Gleichung lösen" habe ich nur lapidar geschrieben:

• Man bringt immer die Variablen auf die eine Seite und die "Konstanten" (die addierten und subtrahierten Zahlen) auf die andere Seite.

Ich merke aber ("am lebenden Objekt"), dass hier offenbar mehr Anleitung nötig ist. Ich beschreibe hier einmal das ideale Vorgehen; wenn ich Zeit finde, zeige ich vielleicht später ein paar nicht so gute Beispiele samt besseren Varianten.

Bei einer linearen Gleichung findet man die mögliche Lösung in folgenden drei "Phasen":

1. Wenn sie Summenbrüche enthält, diese Brüche zerlegen! ⇒ dann vereinfachen.
2. Nur mit Plus und Minus die Variablen auf eine Seite "sortieren", die Konstanten (Zahlen) auf die andere ⇒ dann wieder vereinfachen.
3. Nur mit Multiplikation oder Division den Faktor vor der Variablen auf 1 bringen.

Wenn man es kann, geht es bei manchen Gleichungen auch "trickreicher", "schneller" – aber das ist dann kein Verfahren, und daher geht es immer wieder schief.

Hier gibt es, wie an vielen Stellen, ein pädagogisches Problem: Schüler haben manchmal gar nicht unpassende (z.B. die Rechnung verkürzende) Ideen, wie man vorgehen könnte, die aber dem Verfahren zuwiderlaufen. Soll man sie nun zwingen, ihre gute Idee zu "verleugnen" = sie demotivieren = "Ideen sind schlecht"? oder sie ihre Idee ausprobieren lassen = sie in die Irre laufen lassen, weil nicht alle Ideen immer funktionieren? Meine versuchsweise Antwort: Manchmal eine Idee ausprobieren lassen, weil "Ideen haben" so wichtig ist in der Mathematik, auch falsche Ideen!!; aber häufiger die "Idee zur Seite legen": "Das könnte man machen, aber wir üben nun einmal das Verfahren, das immer geht.")

Hier ist eine "regelgerecht gelöste" lineare Gleichung. Die fetten Stellen zeigen, wo sich gegenüber der vorherigen Zeile etwas geändert hat. Die punktierten Linien habe ich eingefügt, weil man sich sonst einem "Formelgebirge" gegenübersieht, dass man gleich verzweifelt ...

Ganz schön lang ... aber länger wird es kaum, bei den meisten linearen Gleichungen geht es schneller. Bitte beachten: Alle = stehen senkrecht untereinander!

Achtung: Das ist nicht die ganze Lösung! – was fehlt noch? Klar:

• Am Anfang die Angabe einer Grundmenge (wenn nicht anders angegeben, sind das die rationalen Zahlen, also das "komische Q"),
• die Probe,
• und die Angabe der Lösungsmenge.

Hier sind diese Teile:

Und jetzt sind wir wirklich fertig!

Ein langer Text für ein Thema, das manchen vielleicht einfach vorkommt: Aber unsere Kinder müssen das alles lernen (und die Menschheit hat ungefähr drei Jahrtausende gebraucht, bis sie das systematisch zusammengebracht hat – so circa von den Babyloniern bis um 1200 herum; allerdings waren die Ägypter, die Griechen und die Araber und wohl auch die Chinesen und die Inder alle schon soweit, dass sie solche Gleichungen lösen konnten – sie taten sich nur schwer mit dem Erklären, wie's geht).