Textaufgaben - Aufstellen von Gleichungen - "Altersaufgaben"

"Altersaufgaben" sind typische Textangaben zum Gleichungslösen. Hier ist ein Beispiel:

Franz ist drei Jahre älter als seine Zwillingsschwestern Maria und Marianne. Vor drei Jahren waren sie zusammen 30 Jahre alt. Wie alt sind sie heute?

Wie löst man solche Aufgaben? Diese Aufgaben sind in der Regel einfache "Zusammensuchaufgaben": Man geht also durch die Angabe durch und setzt jede Aussage "in Mathematik" um. Dabei unterstreicht man jeden Satz oder Satzteil, den man "übersetzt" hat: Damit stellt man sicher, dass man einerseits nichts übersieht, andererseits nicht Aussagen doppelt erfasst.

Machen wir das nun einzeln:

• "Franz ist ..." ⇒ "x ... das Alter von Franz".
• "... drei Jahre älter als seine Zwillingsschwestern Maria und Marianne." ⇒ "x – 3 ... das Alter von Maria und Marianne".
• "Vor drei Jahren ..." ⇒ "Vor drei Jahren war Franz x – 3 Jahre alt, Maria x – 6 Jahre, Marianne auch x – 6 Jahre".
• "... waren sie zusammen 30 Jahre alt." ⇒ "(x – 3) + (x – 6) + (x – 6) = 30.

Alle Angaben sind nun unterstrichen = man hat keine Information übersehen, und die Gleichung ist gefunden und kann gelöst werden: Schön der Reihe nach mit

• Angabe der Grundmenge (welche nimmt man hier? Eine fachlich sinnvolle Angabe wäre "die rationalen Zahlen zwischen 0 und 120"!),
• Berechnung einer möglichen Lösung – wir erhalten x = 15,
• Probe (passt!)
• und Angabe der Lösungsmenge: L = { 15 }.

Das Ergebnis aus der Lösungsmenge setzt man nun in die Übersetzungen ein und prüft damit, ob alles mit der Aufgabe zusammenpasst:

• "15 ... das Alter von Franz".
• "15 – 3 = 12 ... das Alter von Maria und Marianne".
• "Vor drei Jahren war Franz 15 – 3 = 12 Jahre alt, Maria 15 – 6 = 9 Jahre, Marianne auch 15 – 6 = 9 Jahre".
• "12 + 9 + 9 = 30" – alles passt!

Gleichungen lösen - Fehler finden

Wenn wir alle – Schüler/innen und Nachhelfende – keine Fehler beim Gleichungslösen machen würden, wäre ja alles ok. Leider macht man aber Fehler. Die zwei "üblichsten" sind:

• Minus nicht in eine Folgezeile übertragen.
• Beim Multiplzieren der ganzen Gleichung einzelne Teile übersehen.

Merken tut man den Fehler, wenn die Probe nicht aufgeht. Dann verzweifelt man – denn man steht vor einem Haufen von Gleichungszeilen und einigen Probenzeilen, und irgendwo da drin ist was falsch. Was nun?

Hier ist ein wichtiges Verfahren zum Fehlerfinden (eine "Heuristik"; das funktioniert übrigens für alle Arten von Gleichungen, nicht nur lineare):

Wenn die Probe fehlgeschlagen ist, setzt man die mögliche Lösung in einer Zeile ungefähr in der Mitte der Gleichungslösung ein. Wenn dort die Rechnung ...

• ... stimmt, dann ist im oberen Teil der Gleichungslösung ein Problem;
  
• ... nicht stimmt, dann hat man ein Problem im unteren Teil.

Hier das ganze noch einmal graphisch – gleich danach kommt ein Beispiel:

Und hier ist ein Beispiel dazu. Damit Sie nicht den Überblick verlieren, hier eine kurze "Anleitung":

• Zuerst wird die Gleichung gelöst – das ist der blaue Pfeil links. Als mögliche Lösung kommt –10 heraus.
• Leider stellt sich bei der Probe heraus, dass linke und rechte Seite nicht übereinstimmen: 136/3 ist nicht gleich –206/3!
• Daher setzen wir die mögliche Lösung, also –10, in einer Gleichung in der Mitte ein. Der grüne Pfeil zeigt die Nebenrechnung, und die stimmt!
• Daher stimmt das Endergebnis "relativ zu dieser Gleichung", also hat man sich im unteren Bereich nicht verrechnet ⇒ der Fehler muss also weiter oben sein!

Achtung: Die Aussage "Stimmt" bedeutet nicht, dass das Ergebnis am Ende stimmt – sie bedeutet nur, dass dieser Teil-Rechengang stimmt! Weil aber die Lösung offensichtlich falsch ist, muss eben davor ein Fehler sein!

Zur weiteren Fehlereingrenzung kann man nun eine Gleichung aus der Mitte des oberen Rechengangs wählen (also sozusagen die "Hälfte der Hälfte"^*) usw.usf. Wenn man dann nur mehr zwei oder drei Gleichungen als "Fehlerkandidaten" hat, muss man die Umformungen zwischen denen konzentriert nachrechnen.

Leider kann es auch sein, dass man mehr als einen Fehler macht – dann findet man mit dem Verfahren zuerst einmal nur einen Fehler und muss dann weitersuchen.

Und auch in der Probe kann ein Fehler sein – die mögliche Lösung stimmt zwar eigentlich, nur man "beweist" sich, dass es nicht stimmt ... sehr demotivierend.

Zuletzt gibt es noch die Fehler, die sich gegenseitig aufheben: Wenn z.B. die mögliche Lösung falsch ist, man aber in der Probe sich so verrechnet, dass die Gleichung trotzdem zu stimmen scheint. Gottseidank ist das unwahrscheinlich, und mit diesem Risiko muss man halt leben, als Schüler/in und auch sonst.

^* Mathematiker kennen solche Verfahren, die immer wieder die Hälfte einer Menge bilden, unter dem Begriff "Bisektion", Informatiker als "divide and conquer".

Gleichungsaufgaben, Gleichungsaufgaben (erweitert 25.2.2014)

Hier kommen weitere Aufgabenblätter (nach den Termaufgaben), die ich in den letzten Tagen geschrieben habe. Da Gleichungsaufgaben gerade aktueller Stoff sind, werde ich dieses Posting nach und nach um weitere Aufgabenblätter ergänzen. Auch hier gibt es wieder rein rechnerische Aufgaben wie auch Textaufgaben.

Schriftliche Lösungen gibt es derzeit dazu nicht. Wenn jemand zu einer Aufgabe eine Lösung oder Lösungshinweise – oder auch eine Anmerkung oder Frage zum Vorgehen – haben möchte, bitte einen Kommentar schreiben oder eine E-Mail an harald_m_mueller@gmx.de senden.

• Aufgaben vom 11.2.2014
• Aufgaben vom 12.2.2014
• Aufgaben vom 13.2.2014
• Aufgaben vom 17.2.2014
• Aufgaben vom 18.2.2014
• Aufgaben vom 19.2.2014
• Aufgaben vom 21.2.2014
• Aufgaben vom 24.2.2014 ergänzt 25.2.2014
• Aufgaben vom 25.2.2014 ergänzt 25.2.2014

Gutes Gelingen!

Termaufgaben, Termaufgaben, Termaufgaben

Hier stelle ich nun endlich einmal eine Reihe von Aufgabenblättern zur Verfügung, die ich in den letzten zwei Monaten geschrieben habe. Dieses erste Posting enthält "Termaufgaben" – sowohl rein rechnerische Aufgaben wie auch, später, Textaufgaben.

Schriftliche Lösungen gibt es derzeit dazu nicht. Wenn jemand zu einer Aufgabe eine Lösung oder Lösungshinweise – oder auch eine Anmerkung oder Frage zum Vorgehen – haben möchte, bitte einen Kommentar schreiben oder eine E-Mail an harald_m_mueller@gmx.de senden.

• Aufgaben vom 4.12.2013 | Lösungen vom 4.12.2013 ergänzt 18.3.2014
• Aufgaben vom 5.12.2013
• Aufgaben vom 6.12.2013 | Lösungen vom 6.12.2013 ergänzt 18.3.2014
• Aufgaben vom 9.12.2013
• Aufgaben vom 11.12.2013
• Aufgaben vom 12.12.2013
• Aufgaben vom 16.12.2013
• Aufgaben vom 17.12.2013
• Aufgaben vom 18.12.2013
• Aufgaben vom 20.12.2013
• Aufgaben vom 23.12.2013
• Aufgaben vom 28.12.2013
• Aufgaben vom 31.12.2013
• Aufgaben vom 7.1.2014
• Aufgaben vom 8.1.2014
• Aufgaben vom 10.1.2014
• Aufgaben vom 13.1.2014
• Aufgaben vom 15.1.2014
• Aufgaben vom 21.1.2014
• Aufgaben vom 22.1.2014
• Aufgaben vom 24.1.2014
• Aufgaben vom 29.1.2014
• Aufgaben vom 30.1.2014
• Aufgaben vom 4.2.2014
• Aufgaben vom 5.2.2014
• Aufgaben vom 6.2.2014
• Aufgaben vom 10.2.2014

Gutes Gelingen!

Lineare Gleichungen lösen

Unter "eine lineare Gleichung lösen" habe ich nur lapidar geschrieben:

• Man bringt immer die Variablen auf die eine Seite und die "Konstanten" (die addierten und subtrahierten Zahlen) auf die andere Seite.

Ich merke aber ("am lebenden Objekt"), dass hier offenbar mehr Anleitung nötig ist. Ich beschreibe hier einmal das ideale Vorgehen; wenn ich Zeit finde, zeige ich vielleicht später ein paar nicht so gute Beispiele samt besseren Varianten.

Bei einer linearen Gleichung findet man die mögliche Lösung in folgenden drei "Phasen":

1. Wenn sie Summenbrüche enthält, diese Brüche zerlegen! ⇒ dann vereinfachen.
2. Nur mit Plus und Minus die Variablen auf eine Seite "sortieren", die Konstanten (Zahlen) auf die andere ⇒ dann wieder vereinfachen.
3. Nur mit Multiplikation oder Division den Faktor vor der Variablen auf 1 bringen.

Wenn man es kann, geht es bei manchen Gleichungen auch "trickreicher", "schneller" – aber das ist dann kein Verfahren, und daher geht es immer wieder schief.

Hier gibt es, wie an vielen Stellen, ein pädagogisches Problem: Schüler haben manchmal gar nicht unpassende (z.B. die Rechnung verkürzende) Ideen, wie man vorgehen könnte, die aber dem Verfahren zuwiderlaufen. Soll man sie nun zwingen, ihre gute Idee zu "verleugnen" = sie demotivieren = "Ideen sind schlecht"? oder sie ihre Idee ausprobieren lassen = sie in die Irre laufen lassen, weil nicht alle Ideen immer funktionieren? Meine versuchsweise Antwort: Manchmal eine Idee ausprobieren lassen, weil "Ideen haben" so wichtig ist in der Mathematik, auch falsche Ideen!!; aber häufiger die "Idee zur Seite legen": "Das könnte man machen, aber wir üben nun einmal das Verfahren, das immer geht.")

Hier ist eine "regelgerecht gelöste" lineare Gleichung. Die fetten Stellen zeigen, wo sich gegenüber der vorherigen Zeile etwas geändert hat. Die punktierten Linien habe ich eingefügt, weil man sich sonst einem "Formelgebirge" gegenübersieht, dass man gleich verzweifelt ...

Ganz schön lang ... aber länger wird es kaum, bei den meisten linearen Gleichungen geht es schneller. Bitte beachten: Alle = stehen senkrecht untereinander!

Achtung: Das ist nicht die ganze Lösung! – was fehlt noch? Klar:

• Am Anfang die Angabe einer Grundmenge (wenn nicht anders angegeben, sind das die rationalen Zahlen, also das "komische Q"),
• die Probe,
• und die Angabe der Lösungsmenge.

Hier sind diese Teile:

Und jetzt sind wir wirklich fertig!

Ein langer Text für ein Thema, das manchen vielleicht einfach vorkommt: Aber unsere Kinder müssen das alles lernen (und die Menschheit hat ungefähr drei Jahrtausende gebraucht, bis sie das systematisch zusammengebracht hat – so circa von den Babyloniern bis um 1200 herum; allerdings waren die Ägypter, die Griechen und die Araber und wohl auch die Chinesen und die Inder alle schon soweit, dass sie solche Gleichungen lösen konnten – sie taten sich nur schwer mit dem Erklären, wie's geht).

Eine organisatorische Anmerkung

Dieses Blog entsteht sozusagen "evolutionär": Ich schreibe einerseits neue Postings, aber andererseits ergänze ich vorhandene Postings und Seiten – insbesondere die Seite mit den Regeln.

Um einen Hinweis auf Änderungen zu geben, versuche ich einmal Folgendes: Ich markiere Überschriften geänderter Abschnitte in dunkelrot und schreibe das Änderungsdatum dahinter; nach ca. zwei Wochen nehme ich die rote Markierung dann weg. Schaun wir einmal, ob das funktioniert ...

Ergänzung 25.2.2014: Ich denke, folgende Ergänzung ist sinnvoll, damit man nicht immer alle Seiten nach Änderungen absuchen muss: Auf der Seite Änderungen an vorhandenen Seiten und Postings schreibe ich eine Änderungshistorie mit.

5.3. Klammerregeln - Das Multiplizieren von Summen

5.3.1. bis 5.3.8.
Das sind typische Termvereinfachungsaufgaben. Zur Überprüfung des Endergebnisses kann man z.B. wolframalpha verwenden (ich erkläre gleich, wie), aber das Hinschreiben des Ergebnisses zählt nicht als Lösen der Aufgabe! Dazu muss man Ausrechnen mit Rechengang – und dabei helfen einem wolframalpha und ähnliche Werkzeuge nicht.

Zur Verwendung von wolframalpha: Wenn man diese Webseite öffnet, gibt man zuerst ein simplify und dann den Term. Dabei ist zu beachten:

• Statt eines Komma muss ein Punkt eingegeben werden, z.B. 3.5 statt 3,5 (wie in englischsprachigen Ländern üblich).
• Brüche als Faktor werden erkannt: ½x kann man eingeben als 1/2 x.
• Gemischte Zahlen kann man auch eingeben, z.B. 3 1/2.
• Für Potenzen verwendet man ^, z.B. (x+1)^2 für (x+1)².
• Für "hoch zwei" und "hoch drei" kann man stattdessen auch die kleinen Zeichen ² und ³ verwenden, wenn man sie auf der Tastatur findet ...

Hier ist ein Beispiel einer Eingabe ...

... und des Ergebnisses:

Aber nocheinmal betont: Das Vereinfachungsergebnis alleine reicht nicht als Lösung für solche Aufgaben – der Rechengang muss nachvollziehbar sein!

5.3.12.
Hier sind teils doppelte Fehler enthalten, und manche Rechenschritte sind so absurd, dass ich den Fehler gar nicht benennen könnte. Lieber eine korrekte Lösung hinschreiben und dazusagen: "So geht's richtig."

5.3.13. und 5.3.14.
Diese Aufgaben sind Zusammensuch-Aufgaben: Die Aussage, dass nur ganzzahlige Seitenlängen verwendet werden, ist wichtig; und man muss wissen, wie man 289 zerlegen kann.

5.3.16.
Auch das sind lauter Zusammensuch-Aufgaben. Die grauen Flecken innerhalb einer Aufgabe können verschiedene Teilterme darstellen – ich denke, dass man stattdessen verschiedene Symbole (z.B. Smileys wie hier) einsetzt, dann "ausrechnet" und die Ergebnisse vergleicht ... ein mehr oder weniger nettes Suchspiel.

5.3.17.
Anmerkung: Bei b) ist in meiner Ausgabe des Buches wohl ein Druckfehler: Statt "14, 15" sollte hier wohl eher "13, 14" stehen – ich wüsste nicht, wie man 5.3.15 "ähnlich" stellen kann.

5.3.21.
Das Wort "Gewinn" ist in dieser Aufgabe (für mich) verwirrend – meint es

1. den "Umsatz" (also beim Originalpreis von 8€ den Wert 16000€)?
2. den "wirtschaftlichen Gewinn"? - den kann man nicht feststellen, weil man seine Einstandskosten nicht kennt.
3. den "Mehrgewinn" relativ zum Gewinn beim Preis von 8€?

Ich würde den letzten Punkt wählen ... auch wenn mich das leicht irritiert. In der Schule wird der Lehrer das sicher richtigstellen.

5.3.22.
Auch diese Aufgabe ist etwas mehrdeutig: Ein Würfel hat keine "Breite" – wenn man sie nun aber wie gefordert verkürzt, bleibt die Grundfläche ein Quadrat (d.h. "Breite und Tiefe" werden verkürzt), oder bleibt die "Tiefe" gleich? Man kann natürlich für beide Fälle eine Lösung suchen – vielleicht eine gute Übung!