6.1. Gleichungen - Durch Probieren und Überlegen zur Lösung

6.1.1.

• Ausrechnen
• Wissen und Erkennen: Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0.
• Wissen und Erkennen: Die vierte Potenz einer Zahl ist das Quadrat des Quadrats ... und: Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0.
• Wissen und Erkennen: Der Betrag einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0.

6.1.3.
y = 3x + 2:
"Die Anzahl der Mädchen" ist gleich "dreimal die Anzahl der Jungen plus 2".
oder: Die Anzahl der Mädchen ist um 2 größer als die dreifache Jungenanzahl.
oder: Dreimal soviele Jungen sind noch immer zwei weniger als die Mädchen!


6.1.4.
"Wenn man die Anzahl der roten Äpfel verdoppelt, dann übersteigt ihre Anzahl die der grünen um 4"
⇒ Wenn man y verdoppelt, dann übersteigt das den Wert x um 4
⇒ 2y übersteigt x um 4
⇒ 2y = x + 4

6.1.5.
a) | x | = 7: Dann muss x gleich 7 oder gleich –7 sein. Formal geschrieben: L = { 7; –7 } (und weil die Reihenfolge in einer Mengenangabe egal ist, gilt auch L = { –7; 7 }).
b) | x – 4 | = 2:

• Erster Fall: x – 4 = 2 ... kann man leicht lösen.
• Zweiter Fall: x – 4 = –2 ... kann man auch leicht lösen.

L = { 6, 2 }

6.1.6.
c) Wissen und Erkennen: Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Damit dieses Produkt also 0 wird, muss einer von drei Fällen eintreten:

• (x – 1) = 0
• (x – 2) = 0
• (x – 1) = 0 und (x – 2) = 0

Für jeden Fall kann man sich nun eine Lösung überlegen (und kommt dabei drauf, dass der dritte Fall nicht sein kann).
e) geht analog zu c).
g) Wissen und Erkennen: Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0.
j) 1 plus wieviel ist 1? Und was zum Quadrat ist dieses "wieviel"?

6.1.7.
b) Man addiert was zu 25 und kriegt was Kleineres!
a) Aufzeichnen auf einer Zahlengeraden.
d) wie a)
c) Bitte nicht mehr mit Zahlengerade (obwohl es auch geht) ... das ist sogar für mich verwirrend. Hier hilft (mir) nur mehr durchprobieren!


6.1.8.
a),b),... Wissen und Erkennen: Lineare Gleichungen haben in der Regel genau eine Lösung
d) Wissen und Erkennen: Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0. Das Minus vor dem Quadrat erzeugt daher immer eine Zahl ≤ 0.
e) Wissen und Erkennen: Quadratische Gleichungen haben in der Regel zwei Lösungen
f) Wissen und Erkennen: Gleichungen, wo genau ein Betrag |...| vorkommt, verhalten sich wie quadratische Gleichungen.

6.1.9.
Bei dieser Aufgabe ist nicht danach gefragt, die Gleichungen "aufzulösen"! Stattdessen sollen die Lösungen mit Termtabellen gefunden werden. Möglichkeiten:

• Je Aufgabe zwei normale ("waagrechte") Termtabellen (wie sie etwa im Abschnitt 3.1. des Buches eingeführt wurden – siehe z.B. S.53). Vorteil: Die Schülerin kennt diese Art des Aufschreibens.
• Je Aufgabe eine "senkrechte dreispaltige Termtabelle" (wie sie etwa auf S.111 gezeigt wird). Vorteil: Beispiel im Buch – Nachteil: Jetzt ist die Tabelle plötzlich senkrecht ...
• Je Aufgabe eine "waagrechte dreizeilige Termtabelle". Die ist einer Erweiterung der Termtabellen aus Abschnitt 3.1 um eine weitere Zeile, sodass man in die mittlere Zeile die Werte des linken Gleichungsterms einträgt, in die untere Zeile die Werte des rechten Gleichungsterms (in die oberste Zeile gehen natürlich die x-Werte). Vorteil: Logische Erweiterung von etwas Bekannten – Nachteil: Wird im Buch so nicht eingeführt (aber vielleicht durch den Lehrer?).

6.1.10.
Wissen und Erkennen folgender Regeln hilft zur Lösung einiger Gleichungen:

• Der Betrag einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0
• Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
• Quadratische Gleichungen haben in der Regel zwei Lösungen

Den Rest löst man durch Raten und Prüfen mit den übrigbleibenden Werten.

6.1.12.
"Set an equation" ist eine etwas komische Ausdrucksweise für "Erstelle eine Gleichung". Üblicher wäre "Write an equation", "Provide ...", "Create ...".


6.1.13.
Welche Zahl muss man von 19 subtrahieren, um das Doppelte von 2 zu erhalten?

Umformuliert: 19 minus irgendwas muss gleich (2 mal 2) sein.
Und als Gleichung: 19 – x = 2 ⋅ 2

Subtrahiert man 3 vom Quadrat einer Zahl, erhält man das Dreifache der Zahl:

Umformuliert: Zahl² – 3 ist dasselbe wie Zahl mal 3.
Und als Gleichung: x² – 3 = 3x

6.1.18.
a) Man kann einfach die vielen s in der Zeichnung zusammenzählen. Vielleicht sieht man aber, dass sie in Paaren vorkommen ...
b) Das muss der Schüler unbedingt selber rauskriegen: Denn dieses "Skalieren aller Teile" muss man sich vorstellen. Ein paarmal Raten und Prüfen ist hier erlaubt. Dann sollte man aber die Gleichung zusammenbringen.
c) Wenn's unbekannt ist: Ein DIN-A4-Blatt ist ein Sechzehntel eines DIN-A0-Bogens, der genau einen Quadratmeter groß ist.

6.1.19.
Wissen und Erkennen folgender Regeln hilft zur Entscheidung bei einigen Gleichungen:

• Der Betrag einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0
• Das Quadrat einer Zahl ist nie negativ, sondern immer ≥ 0
• f) geht "mit Hausverstand": Wenn man was Positives addiert, dann ...
• g) geht so ähnlich wie Fall 2. in "Lineare Gleichungen haben in der Regel genau eine Lösung", obwohl es keine lineare Gleichung ist.

6.1.21.
a), b) Wissen und Erkennen der speziellen Fälle folgender Regel hilft: Lineare Gleichungen haben in der Regel genau eine Lösung.
c), d), e): Hier muss man Raten und Prüfen, und zwar mit verschiedenen Formen von Gleichungen. Dabei ganz einfache Formen wie

    x = ...eine feste Zahl...

nicht außer Acht lassen!

6.1.22.
Spannend, und in der 7. Klasse nahezu eine Trickaufgabe, ist h): Wenn man weiß, dass (–1)^{ungerade Zahl} = –1, geht es leicht – aber das wollen wir hier nicht voraussetzen.
Man könnte auch draufkommen, dass –m = – – –m ist und daher –b⁶ = – – –b⁶, und dass ein Minus nichts anderes als eine Multiplikation mit –1 ist, was man dann schlussendlich passend umsortieren kann ...

Schüler, die mit Grundlegenderem kämpfen, sollten diese Aufgabe meiner Meinung nach überspringen, außer sie sind neugierig drauf, wie's geht (das ist immer ein Grund, eine Lösung zu versuchen ... mit einigem Raten und Prüfen, dann gegenseitigem Erklären).

6.1.23.
Wie in der Randspalte steht: Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Aufgabe der Woche
Zuerst einen Term für die Anzahl der Diagonalen erstellen (erraten) – das ist eine Aufgabe wie im Abschnitt 3.1. Dafür genau das Vorgehen einhalten: Termtabelle mit mindestens 3, besser 4 Termen aufstellen (und doppelt nachrechnen); Term erraten; Term gegen die Tabelle prüfen (ich beschreibe es bald mit einer Regel). Auch die Termberechnung für das Zwölfeck gehört noch zu 3.1.
Das Gleichungslösen für das Ergebnis 90 kann man durch Raten und Prüfen (z.B. Erweitern der Termtabelle) machen, oder sonst wie ...