Gleichungen lösen - Fehler finden

Wenn wir alle – Schüler/innen und Nachhelfende – keine Fehler beim Gleichungslösen machen würden, wäre ja alles ok. Leider macht man aber Fehler. Die zwei "üblichsten" sind:

• Minus nicht in eine Folgezeile übertragen.
• Beim Multiplzieren der ganzen Gleichung einzelne Teile übersehen.

Merken tut man den Fehler, wenn die Probe nicht aufgeht. Dann verzweifelt man – denn man steht vor einem Haufen von Gleichungszeilen und einigen Probenzeilen, und irgendwo da drin ist was falsch. Was nun?

Hier ist ein wichtiges Verfahren zum Fehlerfinden (eine "Heuristik"; das funktioniert übrigens für alle Arten von Gleichungen, nicht nur lineare):

Wenn die Probe fehlgeschlagen ist, setzt man die mögliche Lösung in einer Zeile ungefähr in der Mitte der Gleichungslösung ein. Wenn dort die Rechnung ...

• ... stimmt, dann ist im oberen Teil der Gleichungslösung ein Problem;
  
• ... nicht stimmt, dann hat man ein Problem im unteren Teil.

Hier das ganze noch einmal graphisch – gleich danach kommt ein Beispiel:

Und hier ist ein Beispiel dazu. Damit Sie nicht den Überblick verlieren, hier eine kurze "Anleitung":

• Zuerst wird die Gleichung gelöst – das ist der blaue Pfeil links. Als mögliche Lösung kommt –10 heraus.
• Leider stellt sich bei der Probe heraus, dass linke und rechte Seite nicht übereinstimmen: 136/3 ist nicht gleich –206/3!
• Daher setzen wir die mögliche Lösung, also –10, in einer Gleichung in der Mitte ein. Der grüne Pfeil zeigt die Nebenrechnung, und die stimmt!
• Daher stimmt das Endergebnis "relativ zu dieser Gleichung", also hat man sich im unteren Bereich nicht verrechnet ⇒ der Fehler muss also weiter oben sein!

Achtung: Die Aussage "Stimmt" bedeutet nicht, dass das Ergebnis am Ende stimmt – sie bedeutet nur, dass dieser Teil-Rechengang stimmt! Weil aber die Lösung offensichtlich falsch ist, muss eben davor ein Fehler sein!

Zur weiteren Fehlereingrenzung kann man nun eine Gleichung aus der Mitte des oberen Rechengangs wählen (also sozusagen die "Hälfte der Hälfte"^*) usw.usf. Wenn man dann nur mehr zwei oder drei Gleichungen als "Fehlerkandidaten" hat, muss man die Umformungen zwischen denen konzentriert nachrechnen.

Leider kann es auch sein, dass man mehr als einen Fehler macht – dann findet man mit dem Verfahren zuerst einmal nur einen Fehler und muss dann weitersuchen.

Und auch in der Probe kann ein Fehler sein – die mögliche Lösung stimmt zwar eigentlich, nur man "beweist" sich, dass es nicht stimmt ... sehr demotivierend.

Zuletzt gibt es noch die Fehler, die sich gegenseitig aufheben: Wenn z.B. die mögliche Lösung falsch ist, man aber in der Probe sich so verrechnet, dass die Gleichung trotzdem zu stimmen scheint. Gottseidank ist das unwahrscheinlich, und mit diesem Risiko muss man halt leben, als Schüler/in und auch sonst.

^* Mathematiker kennen solche Verfahren, die immer wieder die Hälfte einer Menge bilden, unter dem Begriff "Bisektion", Informatiker als "divide and conquer".